বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
কয়েক দিন পর আসছে গণিত উৎসব। তাই সাব্বির সকাল দাদাকে একদিন অনলাইনে জ্যামিতির গল্প বলার জন্য অনুরোধ করল। সকাল দাদা রাজি হয়ে গেলেন এবং সময় ঠিক করলেন পরের দিন সন্ধ্যাবেলা। সময়মতো একে একে জ্যামিতির গল্প শুনতে অনলাইনে যুক্ত হলো সাব্বির, আনিকা, নওরিন, জুয়েল আর সাবর্ণী দিদি। তারপর একটা জ্যামিতি সমস্যার মাধ্যমে গল্প শুরু হলো।
শুরুতেই সকাল দাদা সবাইকে বললেন, ধরো, O ও N যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু। AD: AB = 2 : 5 , AF : AC = 2 : 5 এবং ∆ABC-এর ক্ষেত্রফল 50। DN ও OF পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। চতুর্ভুজ ADPF ও ত্রিভুজ PON-এর ক্ষেত্রফলের পার্থক্য বের করতে হবে।
তারপর সকাল দাদা যার যার খাতায় চিত্রটা আঁকতে বললেন। আঁকা শেষে জুয়েল তার চিত্রটা দেখাল।
তারপর সকাল দাদা বললেন, দেখো,আমাদের বের করতে হবে [ADPF] - [∆PON]-এর মান। কিন্তু এটার মান বের করতে হলে আমাদের [ADPF] - [∆PON] কে এমন কিছু ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলের মাধ্যমে প্রকাশ করতে হবে, যেন প্রশ্নে দেওয়া তথ্যের মাধ্যমে ক্ষেত্রফলগুলো বের করা যায়। আমরা D ও F যোগ করে দেব।
তাহলে লিখতে পারি, [ADPF] - [∆PON] = [∆ADF] + [∆DPF] - [∆PON]
বা, [ADPF] - [∆PON] = [∆ADF] + [∆ODF] + [∆DFN] - [ODFN] ... ... (i)
এখন আমরা ডান পাশের ক্ষেত্রফলগুলো বের করার চেষ্টা করব। প্রথমে [∆ADF] দিয়ে শুরু করব। আচ্ছা, বলো তো [∆ADF]-এর মান কীভাবে বের করতে পারি ?
নওরিন বলল, ∆ADF ~ ∆ABC এবং [∆ABC]-এর মান দেওয়া আছে। আবার আমরা জানি, দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলদ্বয়ের অনুপাত তাদের যেকোনো অনুরূপ দুই বাহুর ওপর অঙ্কিত বর্গক্ষেত্রদ্বয়ের ক্ষেত্রফলের অনুপাতের সমান। তাহলে [∆ADF] বের করতে পারব।
গুড! আচ্ছা, এইবার তোমরা বলো, ∆ADF ~ ∆ABC কীভাবে হলো ?
আনিকা বলল, দাদা, আমাদের প্রশ্নে দেয়া আছে, AD: AB = 2: 5, AF: AC = 2: 5।
আবার আমরা জানি, কোনো সরলরেখা একটি ত্রিভুজের দুই বাহুকে অথবা তাদের বর্ধিতাংশদ্বয়কে সমান অনুপাতে বিভক্ত করলে উক্ত সরলরেখা ত্রিভুজটির তৃতীয় বাহুর সমান্তরাল হয়।
তাই DF ∥ BC, ফলে ∆ADF ~ ∆ABC।
বাহ! খুব ভালো আনিকা! তাহলে ∆ADF এবং ∆ABC হতে পাই,
[∆ADF]/[∆ABC] = AD2/AB2
বা, [∆ADF]/50 = (2/5)2
বা, [∆ADF] = (4/25) × 50
∴ [∆ADF] = 8
এখন আমরা [∆ODF] ও [∆DFN] এর মান বের করব। চিত্রে দেখো, ∆ODF ও ∆ADF এর উচ্চতা একই।
∴ [∆ODF]/[∆ADF] = OD/AD
বা, [∆ODF]/[∆ADF] = (AB/10)/(2AB/5)
বা, [∆ODF] = (1/4) × 8 = 2
∴ [∆ODF] = 2
সাব্বির সকাল দাদাকে প্রশ্ন করল, আচ্ছা দাদা, OD/AD = (AB/10)/(2AB/5) কীভাবে হলো ?
জুয়েল উত্তর দিল, দেখো সাব্বির, আমাদের দেওয়া আছে AD = (2/5) × AB এবং OA = (1/2) × AB।
তাহলে, OD = OA – AD = (AB/2) – (2AB/5) = (1/10) × AB
বাহ! একদম ঠিক বলেছে জুয়েল। একইভাবে, [∆DFN] = 2 বের করা যায়। এখন তোমাদের সাবর্ণী দিদি তোমাদের বাকি অংশ করাবে।
তারপর সাবর্ণী দিদি বলতে শুরু করলেন। এখন শুধু আমাদের [ODFN]-এর মান বের করা বাকি। প্রশ্নে বলা আছে, O এবং N যথাক্রমে AB এবং AC এর মধ্যবিন্দু। তাহলে, AO/AB = 1/2 এবং [∆AON]/[∆ABC] = 1/4।
∴ [ODFN] = [∆AON] – [∆ADF]
= [∆ABC]/4 - [∆ADF]
= 50/4 – 8
= 9/2
তাহলে আমরা সব কটি ক্ষেত্রফল পেয়ে গেলাম। এখন (i) নং সমীকরণ থেকে পাই,
[ADPF] - [∆PON] = 8 + 2 + 2 – 9/2 = 15/2
এটাই আমাদের কাঙ্খিত উত্তর।