আন্তর্জাতিক গণিত অলিম্পিয়াড - ২০২২ (সমস্যা ২ এর সমাধান)

ধনাত্নক বাস্তব সংখ্যার সেটকে ℝ⁺ দিয়ে প্রকাশ করা হলো। এমন সকল ফাংশন f : ℝ⁺→ ℝ⁺ বের করো যেন যেকোনো x ∈ ℝ⁺, এর জন্য ঠিক একটি y ∈ ℝ⁺ পাওয়া যাবে যা নিন্মোক্ত অসমতাটি মেনে চলে :

x∙f(y) + y∙f(x) ≤ 2

দুটি বাস্তব সংখ্যা a,b নিই। আমরা b-কে a-এর ‘বন্ধু’ বলব যদি এবং কেবল যদি a∙f(b) + b∙f(a) ≤ 2 হয়।

এখানে a∙f(b) + b∙f(a) রাশিটি প্রতিসম। তাই b যদি a-এর বন্ধু হয় তবে a-ও b-এর বন্ধু হবে। অর্থাৎ এখানে ‘বন্ধুত্ব’ পারস্পরিক বা মিউচুয়াল (Mutual)।

এবার আমরা বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যর দিকে লক্ষ্য করি :

Observation-1: প্রদত্ত শর্তানুযায়ী, একটি বাস্তব সংখ্যা x-এর কেবলমাত্র একটি বন্ধুই থাকতে পারবে।

Observation-2: দুটি বাস্তব সংখ্যা x ও y একে অপরের বন্ধু হবে না যদি ও কেবল যদি x∙f(y) + y∙f(x) > 2 হয়।

আবার, কোনো বাস্তব সংখ্যা x নিজেই নিজের বন্ধু হতে পারে। এই ধরণের সংখ্যাগুলোকে আমরা ‘আত্ম-বন্ধু’ বলব।

Observation-3: কোনো বাস্তব সংখ্যা x ‘আত্ম-বন্ধু’ হবে যদি ও কেবল যদি x∙f(x) + x∙f(x) ≤ 2 ⇔ x∙f(x) ≤ 1 হয়। অন্যথায় x∙f(x) > 1 হবে।

Observation-4: Observation-1 অনুযায়ী ‘আত্ম-বন্ধু’ সংখ্যাগুলোর অন্য কোনো বন্ধু থাকবে না।

এবার মূল সমাধানের দিকে এগোনো যাক।

Claim-1: সকল ধনাত্নক বাস্তব সংখ্যাই আত্ম-বন্ধু।

প্রমাণ: আমরা কন্ট্র্যাডিকশনের মাধ্যমে এটি প্রমাণের চেষ্টা করব। ধরে নিচ্ছি, একটি বাস্তব সংখ্যা m এর অস্তিত্ব রয়েছে যেটি আত্ম-বন্ধু নয়। তাহলে m এর একজন বন্ধু অবশ্যই আছে। মনে করি বন্ধুটি হচ্ছে n.

আবার, আত্ম-বন্ধু না হওয়ায় Observation-3 অনুযায়ী,

m∙f(m) > 1

⇒ f(m) > 1/m

এখন প্রদত্ত শর্তানুযায়ী,

2 ≥ m∙f(n) + n∙f(m) > m∙f(n) + n/m

এখন AM-GM অসমতা প্রয়োগ করে পাই,

m∙f(n) + n/m ≥ 2√{f(n)∙n}

∴ 2 > 2√{f(n)∙n}

⇒ 1 > √{f(n)∙n}

⇒ 1 > n∙f(n)

তাহলে, Observation-3 অনুযায়ী n আত্ম-বন্ধু। তাই Observation-4 অনুযায়ী n-এর আর কোনো বন্ধু থাকা সম্ভব নয়। কিন্তু এখানে m হচ্ছে n-এর বন্ধু। অর্থাৎ, আমরা একটি কন্ট্র্যাডিকশন পেয়ে গেলাম।

তার মানে, এমন কোনো বাস্তব সংখ্যা m নেই যেন m∙f(m) > 1 হয়। তাহলে সকল বাস্তব সংখ্যাই আত্ম-বন্ধু।

Observation-5: সকল বাস্তব সংখ্যা x আত্ম-বন্ধু হওয়ায় Observation-3 অনুযায়ী x∙f(x) ≤ 1।

Observation-6: Observation-4 অনুযায়ী কোনো বাস্তব সংখ্যারই অন্য কোনো বন্ধু নেই। তাই Observation-2 অনুযায়ী ভিন্ন দুইটি বাস্তব সংখ্যা x ও y-এর জন্য x∙f(y) + y∙f(x) > 2.

আবার মূল প্রমাণে ফেরত আসি।

Claim-2: সকল বাস্তব সংখ্যা x-এর জন্যই x∙f(x) = 1.

প্রমাণ: এবারও আমরা কন্ট্র্যাডিকশনের সাহায্যে নেবো। ধরি, কোনো সংখ্যা r এর জন্য r∙f(r) ≠ 1.

∴ r∙f(r) < 1 [Observation-5 অনুযায়ী]

তাহলে r∙f(r) = 1/k লেখা যায়, যেখানে k > 1.

∴ f(r) = 1/rk

এখন, Observation-6 অনুযায়ী যেকোনো বাস্তব সংখ্যা x ≠ r এর জন্যই x∙f(r) + r∙f(x) > 2.

আবার, 1/x ≥ f(x)

∴ x/rk + r/x ≥ x∙f(r) + r∙f(x) > 2

এখন, x = rk বসিয়ে পাই,

rk/rk + r/rk > 2

⇒ 1 + 1/k > 2

⇒ 1 > k

কিন্তু আমরা আগেই দেখিয়েছিলাম যে k > 1। তাহলে আমরা আবারো একটা কন্ট্র্যাডিকশন পেয়ে গেলাম। সুতরাং, এমন কোনো বাস্তব সংখ্যা r-এর অস্তিত্ব নেই।

সুতরাং, সকল বাস্তব সংখ্যা x-এর জন্যই,

x∙f(x) = 1

⇒ f(x) = 1/x

f(x) = 1/x হলে,

x∙f(y) + y∙f(x) = x/y + y/x ≥ 2√(x/y × y/x) = 2

সমতা বজায় থাকবে যদি ও কেবল যদি x = y হয়। তাহলে f(x) = 1/x -ই একমাত্র সমাধান।