গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি: সমস্যা ও সমাধান (পর্ব-২১)

a < b ও 100 ≤ a, b ≤ 1000 এর জন্য এমন কতগুলো ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যার ক্রমজোড় (a, b) আছে যেন gcd(a, b) ∶ lcm(a, b) = 1 ∶ 495 হয় ?

মনে করি, a = d∙x এবং b = d∙y, যেখানে gcd(x, y) = 1 এবং x < y। তাহলে, gcd(a, b) = d এবং lcm(a, b) = d∙x∙y।

প্রশ্নমতে, gcd(a, b) ∶ lcm(a, b) = 1 ∶ 495

বা, d: d∙x∙y = 1: 495

বা, 1/x∙y = 1/495

বা, x∙y = 495 … … … (i)

এখন, 495 = 1 × 495 = 3 × 165 = 5 × 99 = 9 × 55 = 11 × 45 = 15 × 33

কেইস–১: (x, y) = (1, 495) এর জন্য পাই, b = 495a। কিন্তু 100 ≤ a, b ≤ 1000, তাই (x, y) = (1, 495) গ্রহণযোগ্য নয়।

কেইস–২: (x, y) = (3, 165) এর জন্য পাই, gcd(x, y) = 3। কিন্তু  gcd(x, y) = 1, তাই (x, y) = (3, 165) গ্রহণযোগ্য নয়।

কেইস–৩: (x, y) = (5, 99) এর জন্য পাই, 20 ≤ d ≤ 200 (a = d∙x হতে) এবং 2 ≤ d ≤ 10 (b = d∙y হতে)। কিন্তু 20 ≤ d ≤ 200 ও  2 ≤ d ≤ 10 এর মধ্যে কোনো সাধারণ মান নেই। তাই (x, y) = (5, 99) গ্রহণযোগ্য নয়।

কেইস–৪: (x, y) = (9, 55) এর জন্য পাই, 12 ≤ d ≤ 111 (a = d∙x হতে) এবং 2 ≤ d ≤ 18 (b = d∙y হতে)। 12 ≤ d ≤ 111 এবং 2 ≤ d ≤ 18 এর মধ্যে 7টি সাধারণ মান আছে।

কেইস–৫: (x, y) = (11, 45) এর জন্য পাই, 10 ≤ d ≤ 90 (a = d∙x হতে) এবং 3 ≤ d ≤ 22 (b = d∙y হতে)। 10 ≤ d ≤ 90 এবং 3 ≤ d ≤ 22 এর মধ্যে 13টি সাধারণ মান আছে।

কেইস–৬: (x, y) = (15, 33) এর জন্য পাই, gcd(x, y) = 3। কিন্তু  gcd(x, y) = 1, তাই (x, y) = (15, 33) গ্রহণযোগ্য নয়।

∴ 20 জোড়া ধনাত্নক পূর্ণসংখ্যার ক্রমজোড় (a, b) আছে।