এক শ মুদ্রার ভাগাভাগি

কম্বিনেটরিকসের একটা মজার আর চমকপ্রদ অংশ হলো গেম থিওরি। নিশ্চয়ই ভাবছ, গেম থিওরি জিনিসটাই বা কী? খুব সহজে বললে, যেখানে পুরো ব্যবস্থার সামগ্রিক ফলাফল প্রতিটি ছোট ছোট ঘটনা বা সিদ্ধান্তের ওপর নির্ভর করে। এখানে যেকোনো একটি সিদ্ধান্তের পরিবর্তনে একদম নতুন ঘটনার উদ্ভব ঘটতে পারে। এমনই একটি চমৎকার সমস্যা নিয়ে আজ মাথা ঘামানো যাক।

কোনো এক অভিযান শেষে ভিন্ন ভিন্ন বয়সের পাঁচজন জলদস্যু 100টি স্বর্ণমুদ্রা পেল। ফেরার পথে তাদের সবার চিন্তা, কীভাবে মুদ্রাগুলো নিজেদের মধ্যে ভাগ করা যায়। একেকজন একেক রকম উপায় বলছে, কিন্তু কোনো একটা উপায়ে তারা একমত হতে পারছে না।

অনেক চিন্তা শেষে তারা একটা বুদ্ধি বের করল। তারা সিদ্ধান্ত নিল, সবচেয়ে বয়স্ক জলদস্যু প্রথমে মুদ্রাগুলো ভাগ করার একটা উপায়ের প্রস্তাব দেবেন এবং তিনিসহ বাকি সবাই মিলে ওই প্রস্তাবের পক্ষে–বিপক্ষে ভোট দেবে। যদি ওই প্রস্তাবের পক্ষে 50% বা তার বেশি ভোট পড়ে, তাহলে ওই প্রস্তাব মেনেই মুদ্রাগুলো ভাগ হবে।

কিন্তু 50%–এর কম ভোট পড়লে, প্রস্তাবকারী ওই জলদস্যুকে জাহাজ থেকে ছুড়ে ফেলে দেওয়া হবে এবং অবশিষ্ট জলদস্যুদের নিয়েই এই প্রক্রিয়ার পুনরাবৃত্তি হবে যতক্ষণ না তারা একটা প্রস্তাবে একমত হচ্ছে।

যেহেতু জলদস্যুরা ভয়ানক রক্তপিপাসু এবং স্বার্থবাদী, যদি কেউ কোনো প্রস্তাবের পক্ষে কিংবা বিপক্ষে ভোট দিলে একই পরিমাণ মুদ্রা পায়, তাহলে সে বিপক্ষে ভোট দেবে যাতে প্রস্তাবকারীকে জাহাজ থেকে ছুড়ে ফেলা হয় (এতে মুদ্রার দাবিদারও কমে গেল!)।

পাঁচ জলদস্যুর সাধারণ বৈশিষ্ট্য হলো, তারা সবাই বুদ্ধিমান, যুক্তিবাদী, লোভী এবং কেউই মরতে চায় না (আর অবশ্যই তারা গণিতে যথেষ্ট ভালো!)। বলতে হবে, এই প্রক্রিয়ায় কে কয়টি মুদ্রা নিয়ে ঘরে ফিরতে পারবে?

ধরা যাক, জলদস্যুদের নাম (বয়সের নিম্ন ক্রমানুসারে): P₁, P₂, P₃, P₄, P₅

সমস্যাটি সমাধানের জন্য চলো শেষ থেকে শুরু করা যাক। প্রথমে আমরা দুজনের সিদ্ধান্তের প্রেক্ষিতে ঘটনাটিকে বোঝার চেষ্টা করি। ধরে নিই, প্রথম তিনজনের প্রস্তাবই বাতিল হয়ে যাওয়ায় জাহাজে এখন মাত্র দুজন (P₄ এবং P₅) উপস্থিত। এমতাবস্থায়, P₄ অবশ্যই প্রস্তাব দেবে মুদ্রাগুলো 100: 0 অনুপাতে ভাগ করতে, কেননা তার একটি ভোটই প্রস্তাবের পক্ষে 50% ভোট আনতে যথেষ্ট।

এবার আসা যাক, যদি জাহাজে কেবল তিনজন (P₁, P₂ ও P₃) থাকে, তখন কী হবে। এ ক্ষেত্রে বুদ্ধিমান P₃ মুদ্রাগুলো 99: 0: 1 অনুপাতে ভাগ করার প্রস্তাব দেবে, যা P₅ নির্দ্বিধায় মেনে নেবে যদিও সে মাত্র একটা মুদ্রা পাচ্ছে! কেননা সে যদি বিপক্ষে ভোট দেয়, তাহলে প্রস্তাবটি বাতিল হয়ে যাবে (P₄ অবশ্যই প্রস্তাবের বিপক্ষেই ভোট দিয়ে আছে)। তখন দুজনের ভোটাভুটিতে P₄ সব মুদ্রা নিয়ে চলে যাবে।

এবার চিন্তা করো, যদি চারজন অর্থাৎ P₂, P₃, P₄ এবং P₅ জাহাজে থেকে থাকে, তাহলে কী হবে! একটু চিন্তা করলেই বুঝতে পারবে, এবার P₂ মুদ্রাগুলো 99: 0: 1: 0 অনুপাতে ভাগ করতে চাইবে। কারণ, P₂ জানে, P₃ অবশ্যই প্রস্তাবের বিপক্ষে ভোট দিয়ে P₂–কে জাহাজ থেকে ফেলে দিয়ে 99টি মুদ্রা নিজের করে নিতে চাইবে! তাই P₃–এর সাথে মুদ্রা ভাগাভাগি করার মানে হয় না।

P₅–কেও মুদ্রার ভাগ দেওয়ার মানে হয় না। কেননা P₅ জানে, প্রস্তাবের বিপক্ষে ভোট দিলেই পরের ধাপে সে P₃–এর থেকে অন্তত 1টি মুদ্রা পেয়েই যাবে। তাহলে 50% ভোট পেতে P₄–কে 1টি মুদ্রা দিয়েই P₂ প্রস্তাবটি পাস করাতে পারে। আর P₄ও জানে, এই প্রস্তাব বাতিল হয়ে গেলে পরের ধাপে সে আর কিছুই পাবে না। তাই এভাবে 99টি মুদ্রা নিয়ে নিতে পারবে P₄।

এবার আসা যাক একদম শুরুতে! যখন P₁–এর প্রস্তাব দেওয়ার পালা। P₁ মুদ্রাগুলো 98: 0: 1: 0: 1 অনুপাতে ভাগ করে নিতে চাইবে। এ ক্ষেত্রে P₂–কে 1টা মুদ্রা দেওয়ার মানে হয় না। কেননা সে অবশ্যই প্রস্তাবের বিপক্ষে ভোট দিয়ে পরের ধাপে 99টি মুদ্রা নিজের করে নেবে। P₄–কেও 1টা মুদ্রা দেওয়ার মানে নেই।

কেননা সে জানে, এই প্রস্তাব বাতিল হলেও পরের ধাপে P₂–এর থেকে ওই 1টি মুদ্রাই পাবে। যেহেতু একই পরিমাণ মুদ্রা পাচ্ছে, তাই সে চাইবে P₁–কে জাহাজ থেকে ফেলে দিয়ে P₂–এর থেকে 1টি মুদ্রা নিতে।

তাহলে আমরা আমাদের সমাধানে আসতেই পারি, সবচেয়ে বয়স্ক জলদস্যু যদি মুদ্রাগুলো 98: 0: 1: 0: 1 অনুপাতে ভাগ করার প্রস্তাব দেন, তাহলে কোনো ঝামেলা ছাড়াই সর্বসম্মতিক্রমে তিনি সর্বোচ্চ পরিমাণ মুদ্রা নিজের করে নিতে পারবেন।