বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
ক্লাস শুরুর ঘন্টা বেজে গেছে। সবাই দৌড়ে যার যার ক্লাসে প্রবেশ করছে। মহসীন স্যারও ক্লাসে প্রবেশ করলেন। মহসীন স্যার হলেন নবম শ্রেণির গণিত শিক্ষক। তারপর রোল কল করা শুরু করলেন। রোল কল করা শেষ করে স্যার বোর্ডের দিকে এগিয়ে গেলেন এবং বললেন, আজ তোমাদের সঙ্গে মিলে একটা মজার জ্যামিতি সমাধান করব।
তারপর স্যার বোর্ডে সমস্যাটা লেখা শুরু করলেন, ABCD একটি ট্রাপিজিয়ামের AB,BC ও CD বাহু O কেন্দ্রগামী বৃত্তকে স্পর্শ করে এবং এরা সমান। AD,O বিন্দুগামী। বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1 হলে, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল বের করতে হবে।
লেখা শেষ হওয়ার পর ক্লাসের সবাই কিছুক্ষণ সমস্যাটির দিকে তাকিয়ে ভাবতে লাগল। তারপর স্যার নাভিদকে ডাক দিলেন তাকে চিত্র আঁকতে সাহায্য করার জন্য। স্যার ও নাভিদ মিলে নিচের চিত্রটির মতো সুন্দর একটি চিত্র আঁকলেন।
আঁকা শেষে নাভিদ তার সিটে চলে গেল। তারপর মহসীন স্যার বললেন, দেখো, চিত্রে একটি বৃত্ত ও ট্রাপিজিয়াম আছে। আর ট্রাপিজিয়ামের সমান ৩টি বাহু বৃত্তকে স্পর্শ করে আছে।
এখন আমরা জানি, কোনো ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল বের করতে সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ও তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব জানা দরকার। তাহলে কীভাবে এগুলো পেতে পারি আমরা তার চেষ্টা করব।
তারপর স্যার চিত্রের মধ্যে আরও অতিরিক্ত কিছু আঁকলেন এবং বললেন, এইগুলো বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি ও তাদের মধ্যবর্তী দূরত্ব বের করার জন্য কাজে লাগবে। নতুন চিত্রটা নিচের চিত্রের মতো হলো-
OP⊥BC কারণ বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব। তারপর স্যার ছাত্রদের জিজ্ঞাসা করলেন, আচ্ছা বলো তো, OP⊥MN তা কীভাবে প্রমাণ করা যায়? অভি ও পঞ্চম একসঙ্গে হাত তুলল। স্যার তাদের দুইজনকে সামনে আসার জন্য ডাকলেন।
দুজন দুই টুকরা চক নিয়ে বোর্ডে সামনে চলে গেল। শুরুতেই অভি লিখল-
AB = BC
বা, AM + MB = BP + PC
বা, AM = PC
একইভাবে, DN = BP
পেছনের বেঞ্চ থেকে অয়ন দাঁড়িয়ে জিজ্ঞাসা করল, তিন নম্বর লাইনের উভয় পক্ষ থেকে MB ও BP কীভাবে বাদ গেল?
পঞ্চম বলল, বৃত্তের বহিঃস্থ কোনো বিন্দু থেকে বৃত্তে দুটি স্পর্শক টানলে, ওই বিন্দু থেকে স্পর্শ বিন্দুদ্বয়ের দূরত্ব সমান হবে।
এখানে MB ও BP বহিঃস্থ একটি বিন্দু B থেকে দুটি স্পর্শক। তাহলে MB = BP হবে। তাই উভয় পক্ষ থেকে MB ও BP বাদ গেছে। একইভাবে, DN = BP প্রমাণ করেছে।
তারপর অভি আবার লেখা শুরু করল-
AM = BP = MB, তাহলে M, AB এর মধ্যবিন্দু এবং DN = PC = CN, তাহলে N, CD এর মধ্যবিন্দু।
এখন তোমাদের কাছে প্রশ্ন, AM = BP এটা কেন হলো ?
আবার আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল ও তাদের যোগফলের অর্ধেক। তাহলে আমরা লিখতে পারি, MN∥AD∥BC এবং MN = (AD + BC)/2 … … … (i)
এখন যেহেতু MN∥AD∥BC এবং OP⊥BC সেহেতু OP⊥MN হবে।
স্যার তাদের এই সুন্দর প্রমাণ দেখে খুব খুশি হলেন এবং ক্লাসের সবাই হাততালি দিল। তারপর তারা তাদের সিটে ফিরে গেল।
তারপর মহসীন স্যার বললেন, আমাদের আর একটু কাজ বাকি। এখন আমরা MOT সমকোণী ত্রিভুজ থেকে MT বের করব।
OM2 = OT2 + MT2
বা, (1)2 = (1/2)2 + MT2
∴ MT = √3/2
অতএব, MN = √3
এখন আমরা জানি, ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল = ½ × OP × (AD + BC)
= OP × (AD + BC)/2
= OP × MN [(i) হতে]
= 1 × √3
= √3
তাহলে ছাত্ররা, আমরা ট্রাপিজিয়ামের ক্ষেত্রফল পেয়ে গেলাম (সঙ্গে সঙ্গে ক্লাস শেষের ঘন্টা বেজে উঠল)।