বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
আজকের পর্বে আমরা আলোচনা করব ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত ও পরিবৃত্ত কী এবং কীভাবে এগুলোর ব্যাসার্ধ বের করা যায়। তাহলে প্রথমে আমরা অন্তর্বৃত্ত দিয়ে শুরু করি।
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত : কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহুকে অন্তঃস্থভাবে যে বৃত্ত স্পর্শ করে, সে বৃত্তকে ওই ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত বলে।
আর ত্রিভুজের প্রতিটি অন্তঃস্থ কোণের সমদ্বিখণ্ডক পরস্পর যে বিন্দুতে ছেদ করে বা মিলিত হয়, তা হলো ওই ত্রিভুজের অন্তকেন্দ্র বা অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র।
ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় :
এখানে DEF হলো ∆ABC এর অন্তর্বৃত্ত যা AB, BC ও CA বাহুত্রয়কে যথাক্রমে D, E ও F বিন্দুতে স্পর্শ করেছে এবং I হলো অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র।
এখন I, D ; I, E ও I, F যোগ করি। তাহলে ID⊥AB, IE⊥BC ও IF⊥AC হবে। কারণ, আমরা জানি, বৃত্তের যেকোনো বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধের ওপর লম্ব।
ধরি, AB = a, BC = b, CA = c এবং ID = IE = IF = r
এখন, ∆AIB এর ক্ষেত্রফল = ½ × AB × ID = ½ × a × r
∆BIC এর ক্ষেত্রফল = ½ × BC × IE = ½ × b × r
∆AIC এর ক্ষেত্রফল = ½ × CA × IF = ½ × c × r
আবার, ∆ABC এর ক্ষেত্রফল = √{s(s - a)(s - b)(s - c)} [হেরনের সূত্র]
যেখানে, s হলো ত্রিভুজের অর্ধপরিসীমা এবং s = (a + b + c)/2
∴ [∆ABC] = [∆AIB] + [∆AIC] + [∆AIC]
বা, √{s(s - a)(s - b)(s - c)} = (½ × a × r) + (½ × b × r) + (½ × c × r)
বা, √{s(s - a)(s - b)(s - c)} = r × {(a + b + c)/2}
বা, √{s(s - a)(s - b)(s - c)} = rs
∴ r = √{s(s - a)(s - b)(s - c)}/s
তাহলে আমরা অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ বা অন্তব্যাসার্ধ বের করার সূত্র পেয়ে গেলাম।
আমাদের যদি ত্রিভুজের ৩টি বাহুর দৈর্ঘ্য জানা থাকে, তাহলে ওপরের সূত্র দিয়ে অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ সহজে বের করতে পারব।
আমরা ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্ত সম্পর্কে ধারণা পেয়ে গেলাম।