উপপাদ্যটি জানার আগে আমরা এর নামকরণ সম্পর্কে একটু জেনে নিই। কেন ‘ক্রসড ল্যাডার থিওরেম’ বলা হয় ? এইটা বোঝার জন্য নিচের চিত্রটা লক্ষ্য করি।
চিত্রে দেখা যাচ্ছে, দুটি বাড়ির মাঝে দুটি মই (ল্যাডার) এমনভাবে রাখা হয়েছে যে দেখতে ঠিক ক্রস চিহ্নের মতো দেখাচ্ছে। তাই এই উপপাদ্যটিকে ‘ক্রসড ল্যাডার থিওরেম’ নামকরণ করা হয়েছে। এবার আমরা এই উপপাদ্যের বিস্তারিত সম্পর্কে জানব।
বেসিক ক্রসড ল্যাডার থিওরেম :
চিত্রে E হলো AC ও BD এর ছেদবিন্দু এবং AB∥EF∥CD। প্রমাণ করতে হবে, 1/x + 1/y = 1/z।
প্রমাণ :
∆ABC ও ∆EFC সদৃশ ও সদৃশকোণী।
∴ BC/CF = x/z
বা, CF/BC = z/x … … … (i)
আবার, ∆BCD ও ∆EBF সদৃশ ও সদৃশকোণী।
∴ BC/BF = y/z
বা, BF/BC = z/y … … … (ii)
ও যোগ করে পাই, CF/BC + BF/BC = z/x + z/y
বা, (CF + BF)/BC = z × (1/x + 1/y)
বা, BC/BC = z × (1/x + 1/y)
∴ 1/x + 1/y = 1/z
এক্সটেন্ডেট ক্রসড ল্যাডার থিওরেম :
E, M, N, K যথাক্রমে AC ও BD, BD ও CG, AC ও BH, BH ও CG-এর ছেদবিন্দু এবং AB∥MP∥EF∥KL∥NQ∥CD। প্রমাণ করতে হবে, 1/c + 1/f = 1/d + 1/e।
প্রমাণ :
এখানে চারটি ক্রসড ল্যাডার (AC, BD, BH, CG) আছে, যাদের চারটি ছেদবিন্দু E, M, N, K।
এখন বেসিক ল্যাডার থিওরেম অনুযায়ী পাই,
1/x + 1/y = 1/c … … … (i)
1/b + 1/y = 1/d … … … (ii)
1/x + 1/a = 1/e … … … (iii)
1/a + 1/b = 1/f … … … (iv)
ও যোগ করে পাই, 1/c + 1/f = 1/x + 1/y + 1/a + 1/b … … … (v)
ও যোগ করে পাই, 1/d + 1/e = 1/x + 1/y + 1/a + 1/b … … … (vi)
এখন ও হতে পাই, 1/c + 1/f = 1/d + 1/e
অনুশীলন :
[∆BDF] = a, [∆BDC] = b, [∆CDE] = c এবং [AEDF] = x হলে, প্রমাণ কর যে, x = {ac × (a + 2b + c)}/(b2 – ac)।