বছরজুড়ে গণিত অলিম্পিয়াডের প্রস্তুতি
রুশ ধাঁচের সমস্যাগুলো আমার বিশেষ পছন্দের, আর সমস্যাগুলোর সঙ্গে আমার বেশ আনন্দময় একটা সময় কেটেছে। তাই, রুশ সমস্যাগুলো নিয়ে একটা নোট লেখা।
আমার কাছে বিষয়টা বেশ ভালো লাগে, বহু বছর আগে নেভা নদীর তীরে বসে একজন গণিতবিদ হয়তো যে সৌন্দর্যে অভিভূত হয়ে একটা সমস্যা তৈরি করেছিলেন, সেই আনন্দ বহু বছর পর ঢাকায় থাকা এক কিশোরের কাছে একইভাবে ধরা দিলো। আর আগেই বলে নিই, বেশির ভাগ রুশ সমস্যাই অদ্ভুত (একই সঙ্গে অনেক সুন্দর), তাই সমাধান পড়ার আগে অনেকক্ষণ নিজে নিজে চর্চা করাটা বুদ্ধিমানের কাজ হবে।
আর এভাবে এগোতে পারো সেকশনটায় যাওয়ার আগে সমস্যাটা ভালো করে সমাধানের চেষ্টা করলে হয়তো ভালো একটা ইনসাইট পাওয়া যেতে পারে।
সবশেষে পাঠক-পাঠিকার ভালো লাগলেই এই লেখার স্বার্থকতা, প্রয়োজনীয় পরামর্শ জানানোর জন্য যোগাযোগ করার অনুরোধ রইল।
সমস্যা ১:
ধরো, a, b, c, d চারটি ধনাত্বক বাস্তব সংখ্যা, যেন 2(a + b + c + d) ≥ abcd । প্রমাণ করো যে,
a2 + b2 + c2 + d2 ≥ abcd
রুশ ধাঁচের অসমতাগুলো বেশ মজার হয়। অসমতাটি নিয়ে চলো একটু ভিন্নভাবে চিন্তা করি।
এভাবে আগাতে পারো
(১) প্রথমে ধরে নাও, abcd > a2 + b2 + c2 + d2
প্রাসঙ্গিক কথা: সমস্যা সমাধানের এই পদ্ধতিটা হলো মেথড অব কন্ট্রাডিকশন। ধরো, আমাদের একটা স্টেটমেন্ট (যুক্তিবাক্য) P সত্য প্রমাণ করতে বলল। আমরা প্রথমে ধরে নিই যে P মিথ্যা এবং যথাযথ যুক্তি দিয়ে দেখাতে হয় যে P মিথ্যা হলে এমন কিছু দৃশ্যকল্প তৈরি হবে যেটা সত্য হতে পারে না। যুক্তিবাক্য প্রমাণের এই পদ্ধতি হলো মেথড অব কন্ট্রাডিকশন।
(২) দেখাও যে abcd > 16 এবং, a + b + c + d > 8 (হিন্ট: AM-GM ব্যবহার করো।)
(3) a2/1 + b2/1 + c2/1 + d2/1 ≥ কিছু একটা (এটা প্রমাণ করতে Cauchy-Schwarz অসমতা ব্যবহার করতে পারো।)
(৪) a2 + b2 + c2 + d2 ≥ (a + b + c + d)2/4 এখানে হিন্ট দুই ব্যবহার করে কন্ট্রাডিকশনে পৌছানোর চেষ্টা করো।
মেথড অব কন্ট্রাডিকশন দিয়ে ইনিকুয়ালিটির সমাধান করাটা খুব একটা সচারচর নয়, খাতায় টুকে রাখতে পারো।
সমস্যা ২ :
একটি ব্ল্যাকবোর্ডে 1, 2, 3, 4, … , 1024 সংখ্যাগুলো লেখা আছে। তুমি প্রতিধাপে সব কটি সংখ্যা নিয়ে জোড়া বানাও (কোনো সংখ্যা জোড়াবিহীন থাকে না)। তারপর তাদের বিয়োগফলের পরম মান দিয়ে জোড়াগুলোকে প্রতিস্থাপন করে দাও। এ রকম চলতেই থাকে যতক্ষণ না বোর্ডে কেবল একটি সংখ্যা অবশিষ্ট থাকে। শেষ সংখ্যাটির সম্ভাব্য সব মানের যোগফল বের করো।
এভাবে আগাতে পারো
(১) প্রথমে ছোটখাটো সেট নিয়ে কিছুক্ষণ চিন্তা করো। যেমন: {1, 2, 3, 4, … , 8}
(২) 2 কি সম্ভাব্য ফলাফল হতে পারে?
(৩) 4 কি সম্ভাব্য ফলাফল হতে পারে?
(৪) 6 কি সম্ভাব্য ফলাফল হতে পারে?
(5) খেয়ালকরো, ± 1 ± 2 ± 3 ± ⋯ ± 1023 ± 1024 ≡ 0 (mod 2) এখান থেকে সম্ভাব্য সমাধান গুলো সম্পর্কে কী বলা যায়?
সবশেষে নিজের সমাধানটা মিলিয়ে দেখতে পারো।
1, 2, 3, 4, … ,1024
বা, (1, 2k + 2), (2, 3)(4, 5), … , (2k, 2k + 1), (2k + 3, 2k + 4), … , (1023, 1024)
বা, (2k+ 1, 1), (1, 1), (1, 1), … , (1, 1)
বা, (2k, 0), (0, 0), (0, 0) , … , (0, 0)
Continued
তো এভাবে আমরা যেকোনো জোড় সংখ্যাই ফলাফল হিসেবে পেতে পারি।
নিজে করো: (5) ব্যবহার করে দেখাও যে কোনো বিজোড় সংখ্যা শেষ সংখ্যা হতে পারে না।